Two-Way Prepositions

The following two-way prepositions are called Wechselpräpositionen in German (from the verb wechseln, to change). They’re accusative when they express motion/direction, and dative when they express only location:
I put the book on the table.
                                  ACC
The book is on the table.
                                DAT
  English
equivalent(s)
Sample usage and notes
an at, on  
Setz dich an den Tisch. [ACC]
Sit down at the table.

ein Bild an die Wand hängen [ACC]
to hang a picture on the wall

Das Bild hängt an der Wand. [DAT]
The picture hangs (is hanging) on the wall.
 
auf on, up  
auf den Berg steigen [ACC]
to climb up the mountain

eine Vase auf den Tisch stellen [ACC]
to set a vase down on the table

Die Vase steht auf dem Tisch. [DAT]
The vase is (standing) on the table.
 
  an vs. auf: The word auf implies a position on top of something;
an is more like "beside" or suspended from.
hinter behind  
ein Blick hinter die Kulissen [ACC]
a glimpse behind the scenes

Was passiert hinter den Kulissen? [DAT]
What's happening behind the scenes?
 
in into, to [ACC]
in [DAT]
 
Die Kinder gehen in die Schule. [ACC]
The kids are going to school.

Was hast du in der Schule gelernt? [DAT]
What did you learn in school?
 
neben next to (not just near)  
Komm, setz dich neben mich. [ACC]
Come sit down next to me.

Der Platz neben mir ist frei. [DAT]
The seat next to me is free.
 
über over, above
 
Der Zug fuhr über die Brücke. [ACC]
The train went over the bridge.

Die Sonne hing über dem Meer [DAT]
The sun hung over the sea.
 
about Wir redeten über den Film. [ACC]
We talked about the movie.
 
unter under, below
 
Schau unters Bett vorm Schlafengehen [ACC]
Look under the bed before going to sleep.

Ein Monster versteckt sich unterm Bett. [DAT]
A monster is hiding under the bed.
among  
ein Schaf unter Wölfen [DAT]
a sheep among wolves

unter anderem (u.a.) [DAT]
among other things / inter alia
 
vor in front of

 
Ich stellte mich vors Mikro(fon). [ACC]
I went up to the microphone.

Der Tisch steht vor dem Fenster. [DAT]
The table is in front of the window.
of  
Angst vor Höhe [DAT]
fear of heights
before  
Ich muss es vorm Wochenende machen [DAT]
I have to do it before the weekend.
 
zwischen between  
etwas zwischen die Finger bekommen [ACC]
to get a hold of something
(literally, between one's fingers)

zwischen den Jahren [DAT]
between the years
(German expression for the time between Christmas and New Year’s)